Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Ta có:

Xét y’ = 0, ta có: y′ = 3 x 2  − 2mx + (m – 2/3)

Δ’ > 0 khi m < 1 hoặc m > 2 (∗)

Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì

y′(1) = 3 − 2m + m – 2/3 = 0 ⇔ m = 7/3, thỏa mãn điều kiện (∗)

Với m = 7/3 thì hàm số đã cho trở thành:

Ta có:

Vì y′′(1) = 6 – (14/3) > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và y C T  = y(1) = (16/3).

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-sinx=0\\x-m-3=0\\x-\sqrt{9-m^2}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=m+3\\x=\sqrt{9-m^2}\end{matrix}\right.\) 

Do hệ số bậc cao nhất của x dương nên:

- Nếu \(m=-3\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có nghiệm bội 3 \(x=0\) \(\Rightarrow x=0\) là cực tiểu (thỏa mãn)

- Nếu \(m=3\Rightarrow x=0\) là nghiệm bội chẵn (không phải cực trị, ktm)

- Nếu \(m=0\Rightarrow x=3\) là nghiệm bội chẵn và \(x=0\) là nghiệm bội lẻ, đồng thời \(x=0\) là cực tiểu (thỏa mãn)

- Nếu \(m\ne0;\pm3\) , từ ĐKXĐ của m \(\Rightarrow-3< m< 3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+3>0\\\sqrt{9-m^2}>0\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(f'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm pb trong đó \(x=0\) là nghiệm nhỏ nhất

Từ BBT ta thấy \(x=0\) là cực tiểu

Vậy \(-3\le m< 3\)

\(y'=3x^2-2mx+\left(m-\dfrac{2}{3}\right)\)

Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì x =1 phải là nghiệm của y'=0.

=> \(3.1^2-2m.1+\left(m-\dfrac{2}{3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{3}\)

Khi đó ta có:

\(y=x^3-\dfrac{7}{3}x^2+\dfrac{5}{3}x+5\)

\(y'=3x^2-2mx+\left(m-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{1}{3}\left(9x^2-14x+5\right)\)

\(y'\) có 2 nghiệm là \(1\) và \(\dfrac{5}{9}\).

\(y'\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = 1 nên tại x = 1 thì hàm số đạt cực tiểu.

Giá trị cực tiểu tại x = 1 là:

\(y\left(1\right)=1^3-\dfrac{7}{3}.1^2+\dfrac{5}{3}.1+5=\dfrac{16}{3}\)

Đáp án: B.

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi

y' = 3 x 2  - 6(m - 1)x - 3(m + 3) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ ∆ ' = m - 1 2  + (m + 3) =  m 2  - m + 4 > 0

Ta thấy tam thức  ∆ ' =  m 2  - m + 4 luôn dương với mọi m vì

δ = 1 - 16 = -15 < 0, a = 1 > 0

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị mới mọi m  ∈  R

Đáp án: B.

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi

y' = 3 x 2  - 6(m - 1)x - 3(m + 3) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ Δ' = ( m - 1 ) 2  + (m + 3) = m 2  - m + 4 > 0

Ta thấy tam thức Δ' =  m 2  - m + 4 luôn dương với mọi m vì

δ = 1 - 16 = -15 < 0, a = 1 > 0

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị mới mọi m ∈ R

Đáp án: D.

y' = 3 x 2  - 6(m - 1)x - 3(m + 1)

y' = 0 ⇔  x 2  - 2(m - 1)x - m - 1 = 0

Δ' = ( m - 1 ) 2  + m + 1 = m 2  - m + 2 ≥ 0

Tam thức m 2  - m + 2 luôn dương với mọi m ∈ R vì δ = 1 - 8 < 0 và a = 1 > 0 cho nên phương y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị m ∈ R.

Đáp án: D.

y' = 3 x 2 - 6(m - 1)x - 3(m + 1)

y' = 0 ⇔  x 2  - 2(m - 1)x - m - 1 = 0

∆ ' = m - 1 2  + m + 1 =  m 2 - m + 2 ≥ 0

Tam thức  m 2  - m + 2 luôn dương với mọi m ∈ R vì δ = 1 - 8 < 0 và a = 1 > 0 cho nên phương y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị m ∈ R.

Đáp án: A.

- Nếu m = 0 thì y = -2x - 2, hàm số không có cực trị.

- Nếu m ≠ 0: Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = m x 2  + 2mx + 2(m - 1) = 0 không có hai nghiệm phân biệt. Muốn vậy, phải có

Δ' = m 2  - 2m(m - 1) = - m 2  + 2m ≤ 0

⇔ 

Đáp án: A.

- Nếu m = 0 thì y = -2x - 2, hàm số không có cực trị.

- Nếu m ≠ 0: Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = m x 2  + 2mx + 2(m - 1) = 0 không có hai nghiệm phân biệt. Muốn vậy, phải có

∆ ' =  m 2  - 2m(m - 1) = - m 2  + 2m ≤ 0

⇔